演算法（Algorithm）的定義
從輸入到輸出的解題步驟
演算法是一組明確的指令步驟，用於解決某個問題或完成特定任務。
可以把它想成：從「輸入」到「輸出」的一條路線圖，必須在有限時間內完成，且結果要正確、可預測。
演算法的五大特性
Input / Output / Finiteness / Definiteness / Effectiveness
- 輸入（Input）
演算法可以接受零個或多個輸入。
例：做菜需要一些食材及調味料。 - 輸出（Output）
至少要產生一個輸出，通常是解決問題的結果。
例：最後完成並端出一道菜。 - 有限性（Finiteness）
演算法必須在有限步驟內結束，不會無限執行。
例：不會無止盡一直「煮到宇宙毀滅」。 - 確定性（Definiteness）
每個步驟都要清楚、沒有歧義。
例：煮菜時不會寫成「加糖或加鹽，看心情」。 - 有效性（Effectiveness）
每一步操作都要在有限時間內做完，而且人或機器都能執行。
例：食譜的動作可以請廚師，或煮菜機器人完成。
生活與程式中的演算法例子
從食譜到排序
- 日常生活中的例子
- 做菜的食譜就是一種演算法：按順序完成每一步，就能得到一道菜。
- 程式設計中的例子
- 排序演算法：如冒泡排序（Bubble Sort）、快速排序（Quick Sort）。
- 搜尋演算法：如線性搜尋（Linear Search）、二分搜尋（Binary Search）。
為什麼需要演算法？
效率、普適與可重用
- 效率性
- 使用高效演算法可以大幅節省時間與資源。
- 普適性
- 演算法提供一種解決問題的通用方式，可以套用到不同情境。
- 可重用性
- 設計良好的演算法，可以在各種系統與專案裡重複使用。
很多「看起來不同」的應用，其實背後用的是同一種演算法。
例：排序學會一次，就能用在成績、價格、時間等各種資料。
質數判斷的演算法範例
Prime Number Check
問題：給定一個整數 n，若是質數則輸出 Yes，否則輸出 No。
先不要急著寫程式，先用步驟想一想：
簡碼（第一版）
流程圖（第一版）
步驟（第一版）：
- 輸入整數 n。
- 設定旗標
f = false。 - 設定除數從 2 開始除之。
- 若整除，則設定旗標
f = true。 - 除數加 1，回到步驟 3，直到除數 = n − 1。
- 如果旗標
f = false，則輸出 Yes，否則輸出 No。
流程圖（第一版）：
程序優化：讓質數演算法更聰明
減少無謂計算
顯示／隱藏：優化思路
- 找到一個因數就知道不是質數，可以立刻離開迴圈。
- 搜尋範圍是否一定要從 2 到 n−1？
- 除了 2 以外，所有偶數都不是質數，因此可以從 3 開始，每次加 2（只檢查奇數）。
- 終點也可以縮小到： $$\text{int}(\sqrt{n})$$ 因為如果 n 有大於 \(\sqrt{n}\) 的因數，必定也有一個小於 \(\sqrt{n}\) 的因數。
- 為了可讀性，可以把旗標名稱改成
prime。
簡碼（優化版）
流程圖（優化版）
步驟（優化版）：
- 輸入整數 n。
- 如果 n = 2，則輸出 "Yes" 並結束；否則繼續。
- 設定旗標
prime = true。 - 設定除數從 3 開始，每次遞增 2（只檢查奇數）。
- 若整除，則設定
prime = false，並離開迴圈。
重複步驟 4，直到除數 = $$\text{int}(\sqrt{n})$$。
- 如果
prime = true則輸出 Yes，否則輸出 No。
流程圖（優化版）：
